Question

已知函数f(x)=2 x+1 定义在R上， (1)若f(x)可以表示为一个偶函数g(x)与一个奇函数h(x)之和，设h(x)=t，p(

已知函数f(x)=2 x+1 定义在R上， (1)若f(x)可以表示为一个偶函数g(x)与一个奇函数h(x)之和，设h(x)=t，p(t)=g(2x)+2mh(x)+m 2 -m-1(m∈R)，求出p(t)的解析式；(2)若p(t)≥m 2 -m-1对于x∈[1，2]恒成立，求m的取值范围；(3)若方程p(p(t))=0无实根，求m的取值范围。

Answer 1

解：(1)假设f(x)=g(x)+h(x)①，其中g(x)为偶函数，h(x)为奇函数， 则有f(-x)=g(-x)+h(-x)，即f(-x)=g(x)-h(x)，② 由①②解得g(x)= ，h(x)= ， ∵f(x)定义在R上， ∴g(x)，h(x)都定义在R上， ∵g(-x)= =g(x)，h(-x)= =-h(x)， ∴g(x)是偶函数，h(x)是奇函数， ∵f(x)=2 x+1 ， ∴g(x)= ， h(x)= ， 由 =t，则t∈R， 平方得t 2 = ， ∴g(2x)=2 2x + =t 2 +2， ∴p(t)=t 2 +2mt+m 2 -m+1。 (2)∵t=h(x)对于x∈[1，2]单调递增， ∴ ， p(t)=t 2 +2mt+m 2 -m+1≥m 2 -m-1对于t∈ 恒成立， ∴m≥- 对于t∈ 恒成立， 令φ(t)=- ，则φ′(t)= ， ∵t∈ ，∴φ′(t)= ＜0， 故φ(t)=- 在t∈ 上单调递减， ∴φ(t) max = ， ∴m≥ 为m的取值范围． (3)由(1)得p(p(t))=[p(t)] 2 +2mp(t)+m 2 -m+1， 若p(p(t))=0无实根，即[p(t)] 2 +2mp(t)+m 2 -m+1=0①无实根， 方程①的判别式△=4m 2 -4(m 2 -m+1)=4(m-1)， 1°当方程①的判别式△＜0，即m＜1时，方程①无实根； 2°当方程①的判别式△≥0， 即m≥1时，方程①有两个实根p(t)=t 2 +2mt+m 2 -m+1=-m± ， 即t 2 +2mt+m 2 +1± =0②， 只要方程②无实根，故其判别式△=4m 2 -4(m 2 +1± )＜0， 即得-1- ＜0③，且-1+ ＜0④， ∵m≥1，③恒成立， 由④解得m＜2， ∴③④同时成立得1≤m＜2； 综上，m的取值范围为m＜2。