Question

如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边AB、BC的中点，连接AF、DE相交于点G，连接CG．（1）求证：AF⊥DE；（

如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边AB、BC的中点，连接AF、DE相交于点G，连接CG．（1）求证：AF⊥DE；（2）求证：CG=CD．

Answer 1

证明：（1）∵四边形ABCD为正方形
∴AB=BC=CD=AD，∠ABF=∠DAE=90°，
又∵E，F分别是边AB．BC的中点
∴AE＝

1

2

AB．BF＝

1

2

BC
∴AE=BF．
在△ABF与△DAE中，

DA＝AB ∠DAE＝∠ABF AE＝BF

，
∴△DAE≌△ABF（SAS）．
∴∠ADE=∠BAF，
∵∠BAF+∠DAG=90°，
∴∠ADG+∠DAG=90°，
∴∠DGA=90°，即AF⊥DE．

（2）证明：延长AF交DC延长线于M，
∵F为BC中点，
∴CF=FB
又∵DM∥AB，
∴∠M=∠FAB．
在△ABF与△MCF中，

∠M＝∠FAB ∠CFM＝∠BFA CF＝FB

，
∴△ABF≌△MCF（AAS），
∴AB=CM．
∴AB=CD=CM，
∵△DGM是直角三角形，
∴GC＝

1

2

DM＝DC．