Question

已知双曲线x2a2?y2b2＝1(a＞0，b＞0)的左右焦点分别为F1，F2，P为双曲线右支一的任意一点，若|PF1|2|PF2|

已知双曲线x2a2?y2b2＝1(a＞0，b＞0)的左右焦点分别为F1，F2，P为双曲线右支一的任意一点，若|PF1|2|PF2|的最小值为8a，则双曲线离心率的取值范围是（　　）A．（0，+∞）B．（1，2]C．(1，3]D．（1，3]

Answer 1

∵双曲线

x2

a2

?

y2

b2

＝1(a＞0，b＞0)的左右焦点分别为F₁，F₂，P为双曲线右支一的任意一点
∴|PF₁|-|PF₂|=2a，|PF₁|=2a+|PF₂|，
∴

|PF1|2

|PF2|

=

(2a+|PF2|)2

|PF2|

=

4a2

|PF2|

+4a+|PF2| ≥8a，
当且仅当

4a2

|PF2|

＝|PF2|，即|PF₂|=2a时取得等号
∴|PF₁|=2a+|PF₂|=4a
∵|PF₁|-|PF₂|=2a＜2c，|PF₁|+|PF₂|=6a≥2c，
∴e∈（1，3]
故选D．