Question

已知正方体ABCD-A1B1C1D1，O是底ABCD对角线的交点．求证：（1）C1O∥面AB1D1；（2）A1C⊥面AB1D1

已知正方体ABCD-A1B1C1D1，O是底ABCD对角线的交点．求证：（1）C1O∥面AB1D1；（2）A1C⊥面AB1D1．

Answer 1

证明：（1）连接A₁C₁，设A₁C₁∩B₁D₁=O₁，连接AO₁，
∵ABCD-A₁B₁C₁D₁是正方体，
∴A₁ACC₁是平行四边形，
∴A₁C₁∥AC且A₁C₁=AC，
又O₁，O分别是A₁C₁，AC的中点，
∴O₁C₁∥AO且O₁C₁=AO，
∴AOC₁O₁是平行四边形，
∴C₁O∥AO₁，AO₁?面AB₁D₁，C₁O?面AB₁D₁，
∴C₁O∥面AB₁D₁；
（2）∵CC₁⊥面A₁B₁C₁D₁∴CC₁⊥B₁D_!，
又∵A₁C₁⊥B₁D₁，∴B₁D₁⊥面A₁C₁C，即A₁C⊥B₁D₁，
同理可证A₁C⊥AB₁，又D₁B₁∩AB₁=B₁，
∴A₁C⊥面AB₁D₁