Question

阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题：1+x+x（x+1）+x（x+1）2=（1+x）[1+x+x（1+x）]=（1+x）2[

阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题：1+x+x（x+1）+x（x+1）2=（1+x）[1+x+x（1+x）]=（1+x）2[1+x]=（1+x）3（1）上述分解因式的方法是______法，共应用了______次．（2）若分解1+x+x（x+1）+x（x+1）2+…+x（x+1）2010，则需要应用上述方法______次，分解因式后的结果是______．（3）请用以上的方法分解因式：1+x+x（x+1）+x（x+1）2+…+x（x+1）n（n为正整数），必须有简要的过程．

Answer 1

（1）根据已知可以直接得出答案：
故答案为：提取公因式，2；

（2）2010，（1+x）²⁰¹¹；

（3）解：原式=（1+x）[1+x+x（1+x）+…+x（1+x）^（n-1）]，
=（1+x）²[1+x+x（1+x）x（1+x）^（n-2）]，
=（1+x）ⁿ⁺¹．

Answer 2

(1)上述分解因式的方法是提公因式法,共应用了2次;
(2)1+x+x(x+1)+x(x+1)2+…+x(x+1)2010
=(1+x)[1+x+x(x+1)+(1+x)2+…+x(x+1)2009]
=(1+x)2[1+x+(x+1)+x(x+1)2+…+x(x+1)2008]
…
=(x+1)2011.
一共提取了2010次.
故答案为:(1)提公因式,2;(2)2010,(x+1)2011.