Question

正方形ABCD中，将一个直角三角板的直角顶点与点A重合，一条直角边与边BC交于点E（点E不与点B和点C重合）

正方形ABCD中，将一个直角三角板的直角顶点与点A重合，一条直角边与边BC交于点E（点E不与点B和点C重合），另一条直角边与边CD的延长线交于点F．（1）如图①，求证：AE=AF；（2）如图②，此直角三角板有一个角是45°，它的斜边MN与边CD交于点G，且点G是斜边MN的中点，连接EG，求证：EG=BE+DG．（3）在（2）的条件下，如果ABGF=56，那么点G是否一定是边CD的中点？请说明理由．

Answer 1

（1）正方形ABCD中，AB=AD，
∠ABC=∠ADC=∠BAD=90°
∴∠ABC=∠ADF=90°，
∵∠EAF=90°，∴∠BAE=∠DAF，
在△ABE和△ADF中

∠B＝∠ADF AB＝AD ∠BAE＝∠DAF

，
∴△ABE≌△ADF（ASA），
∴AE=AF；

（2）连接AG，
∵点G是斜边MN的中点，∴∠EAG=∠FAG=45°，
AG=AG，
在△AEG和△AFG中

AE＝AF ∠EAG＝∠FAG AG＝AG

，
∴△AEG≌△AFG（SAS），
∴EG=GF，
∴EG=DG+DF，
∵BE=DF，
∴EG=BE+DG；

（3）∵

AB

GF

=

5

6

，
∴设AB=5k，GF=6k，
设BE=x，则CE=6k-x，EG=5k，
CF=CD+DF=6k+x，
CG=CF-GF=6k+x-5k=k+x，
∴Rt△ECG中，（6k-x）²+（k+x）²=（5k）²，
∴2x²-10kx+12k²=0 即x²-5kx+6k²=0，
解得：x₁=2k，x₂=3k，
∴CG=3k或CG=4k，
两种情况都成立，
∴点G不一定是边CD的中点．