Question

已知数列{an}的前n项和Sn满足条件2Sn=3（an-1），其中n∈N*．（1）求证：数列{an}成等比数列；（2）设数

已知数列{an}的前n项和Sn满足条件2Sn=3（an-1），其中n∈N*．（1）求证：数列{an}成等比数列；（2）设数列{bn}满足bn=log3an． 若 cn=anbn，求数列{cn}的前n项和．

Answer 1

（1）由题得an＝Sn?Sn?1＝

3

2

(an?an?1)(n≥2)…（2分）所以a_n=3a_n-1故有

an

an?1

＝3(n≥2)…（4分）
又S1＝

3

2

(a1?1)＝a1，解得a₁=3，所以数列{a_n}成等比数列…（6分）
由（1）得a_n=3ⁿ，则b_n=log₃a_n=log₃3ⁿ=n…（8分）故有 c_n=a_nb_n=n3ⁿ
设T_n=1?3¹+2?3²+3?3³+…+（n-1）3^n-1+n?3ⁿ
3T_n=1?3²+2?3³+3?3⁴+…+（n-1）3ⁿ+n?3ⁿ⁺¹…（10分）
则 ?2Tn＝(31+32+33+…+3n)?n?3n+1＝

3(1?3n)

1?3

?n?3n+1
所以Tn＝

(2n?1)3n+1+3

4

…（14分）