已知数列{ an}的前n项和为Sn,a1=1,Sn+1=4an+1,设bn=an+1-2an.(Ⅰ)证明数列{bn}是等比数列;(Ⅱ)

已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,Sn+1=4an+1,设bn=an+1-2an.(Ⅰ)证明数列{bn}是等比数列;(Ⅱ)数列{cn}满足cn=1log2bn+... 已知数列{ an}的前n项和为Sn,a1=1,Sn+1=4an+1,设bn=an+1-2an.(Ⅰ)证明数列{bn}是等比数列;(Ⅱ)数列{cn}满足cn=1log2bn+3(n∈N*),设Tn=c1c2+c2c3+c3c4+,…+cncn+1,求证,对一切n∈N*不等式Tn<14恒成立. 展开
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知道答主
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解答:证明:(Ⅰ)由于Sn+1=4an+1,①
当n≥2时,Sn=4an-1+1.        ②
①-②得 an+1=4an-4an-1.    所以an+1-2an=2(an-2an-1).
又bn=an+1-2an,所以bn=2bn-1
因为a1=1,且a1+a2=4a1+1,所以a2=3a1+1=4. 所以b1=a2-2a1=2.
故数列{bn}是首项为2,公比为2的等比数列.
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知bn=2n,则cn=
1
log2bn+3
=
1
n+3
(n∈N*).
Tn=c1c2+c2c3+c3c4+…+cncn+1
=
1
4×5
+
1
5×6
+
1
6×7
+…
+
1
(n+3)(n+4)

=
1
4
?
1
5
+
1
5
?
1
6
+…+
1
n+3
?
1
n+4

=
1
4
-
1
n+4
1
4
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