Question

已知圆O：x2+y2=4，点P为直线l：x=4上的动点．（Ⅰ）若从P到圆O的切线长为23，求P点的坐标以及两条切线所

已知圆O：x2+y2=4，点P为直线l：x=4上的动点．（Ⅰ）若从P到圆O的切线长为23，求P点的坐标以及两条切线所夹劣弧长；（Ⅱ）若点A（-2，0），B（2，0），直线PA，PB与圆O的另一个交点分别为M，N，求证：直线MN经过定点（1，0）．

Answer 1

根据题意，设P（4，t）．
（I）设两切点为C，D，则OC⊥PC，OD⊥PD，
由题意可知|PO|²=|OC|²+|PC|²，即42+t2＝22+(2

3

)2，（2分）
解得t=0，所以点P坐标为（4，0）．（3分）
在Rt△POC中，易得∠POC=60°．（4分）
所以两切线所夹劣弧长为

2π

3

×2＝

4π

3

．（5分）
（II）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），Q（1，0），
依题意，直线PA经过点A（-2，0），P（4，t），
可以设AP：y＝

t

6

(x+2)，（6分）
和圆x²+y²=4联立，得到

y＝ t 6 (x+2) x2+y2＝4

，
代入消元得到，（t²+36）x²+4t²x+4t²-144=0，（7分）
因为直线AP经过点A（-2，0），M（x₁，y₁），所以-2，x₁是方程的两个根，
所以有?2x1＝

4t2?144

t2+36

，x1＝

72?2t2

t2+36

，（8分）
代入直线方程y＝

t

6

(x+2)得，y1＝

t

6

(

72?2t2

t2+36

+2)＝

24t

t2+36

．（9分）
同理，设BP：y＝

t

2

(x?2)，联立方程有

y＝ t 2 (x?2) x2+y2＝4

，
代入消元得到（4+t²）x²-4t²x+4t²-16=0，
因为直线BP经过点B（2，0），N（x₂，y₂），所以2，x₂是方程的两个根，2x2＝

4t2?16

t2+4

，x2＝

2t2?8

t2+4

，
代入y＝

t

2

(x?2)得到y2＝

t

2

(

2t2?8

t2+4

?2)＝

?8t

t2+4

．（11分）
若x₁=1，则t²=12，此时x2＝

2t2?8

t2+4

＝1
显然M，Q，N三点在直线x=1上，即直线MN经过定点Q（1，0）（12分）
若x₁≠1，则t²≠12，x₂≠1，
所以有kMQ＝

y1?0

x1?1

＝

24t t2+36

72?2t2 t2+36 ?1

＝

8t

12?t2

，kNQ＝

y2?0

x2?1

＝

?8t t2+4

2t2?8 t2+4 ?1

＝

?8t

t2?12

（13分）
所以k_MQ=k_NQ，所以M，N，Q三点共线，
即直线MN经过定点Q（1，0）．
综上所述，直线MN经过定点Q（1，0）．（14分）