Question

如图，△ABC是直角三角形，∠ACB =90°，CD⊥AB与点D，点E是AC的中点，ED的延长线与CB的延长线交于点F．(

如图，△ABC是直角三角形，∠ACB =90°，CD⊥AB与点D，点E是AC的中点，ED的延长线与CB的延长线交于点F．(1)求证：FD 2 = FB·FC；(2)若G是BC的中点，连接GD与EF垂直吗？并说明理由．

Answer 1

证明：(1)∵E是Rt△ACD斜边中点， ∴DE=AE， ∴∠A=∠AED， ∴∠1=∠AED，∠FBD=∠ACB+∠A=90°+ ∠BDF， ∠FBD=∠ACB+ ∠A =90°+ ∠A， ∴∠FDC= ∠FBD， ∴∠F是公共角， ∴△FBD∽△FDC， ∴ ； (2) GD⊥EF，理由如下 ∵DG是Rt△CDB斜边上的中线， ∴DC=GC， ∴∠CDG=∠GCD， 由(1)得∠GCD =∠BDF，∠CDC= ∠BDF ∴∠CDC+∠GDB=90°， ∴ ∠CDB+ ∠BDF =90°， ∴DG⊥EF．