Question

已知函数f（x）=-x 3 +3x 2 +9x+a在区间[-2，2]上存在零点，那么实数a的取值范围是______

已知函数f（x）=-x 3 +3x 2 +9x+a在区间[-2，2]上存在零点，那么实数a的取值范围是______．

Answer 1

①f′（x）=-3x 2 +6x+9=-3（x+1）（x-3）， 当x＜-1或x＞3时，f′（x）＜0，当-1＜x＜3时，f′（x）＞0， 所以f（x）在（-∞，-1），（3，+∞）上单调递减；在（-1，3）上单调递增． 所以当x=-1时f（x）取得极小值f（-1）=-6+a，f（-2）=2+a，f（2）=22+a． 由于函数f（x）=-x 3 +3x 2 +9x+a在区间[-2，2]上存在零点， 则 f(-1)=-6+a≤0 f(2)=22+a≥0   解得-22≤m≤6， 所以当函数f（x）=-x 3 +3x 2 +9x+a在区间[-2，2]上存在零点时，实数a的取值范围是[-22，6]． 故答案为：-22≤m≤6．