Question

已知 2f(x)-f( 1 x )=x，x∈R 且x≠0．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）求函数f（x）的值域

已知 2f(x)-f( 1 x )=x，x∈R 且x≠0．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）求函数f（x）的值域．

Answer 1

（1）在 2f(x)-f( 1 x )=x 中，…①… 以 1 x 代替x，得 2f( 1 x )-f(x)= 1 x ，…②… ①×2+②，得 3f(x)=2x+ 1 x ， 所以 f(x)= 2x 3 + 1 3x (x≠0) ． 所以函数f（x）的解析式为 f(x)= 2x 3 + 1 3x (x≠0) ． （2）由 y= 2x 3 + 1 3x 得3xy=2x 2 +1，即2x 2 -3y?x+1=0． 因为x≠0，x∈R，所以关于x的方程2x 2 -3y?x+1=0有实数根．故△=9y 2 -8≥0，即 y 2 ≥ 8 9 ． 解得 y≤- 2 2 3 ，或 y≥ 2 2 3 ． 所以函数f（x）的值域为 (-∞，- 2 2 3 ]∪[ 2 2 3 ，+∞) ．