已知 2f(x)-f( 1 x )=x,x∈R 且x≠0.(Ⅰ)求函数f(x)的解析式;(Ⅱ)求函数f(x)的值域

已知2f(x)-f(1x)=x,x∈R且x≠0.(Ⅰ)求函数f(x)的解析式;(Ⅱ)求函数f(x)的值域.... 已知 2f(x)-f( 1 x )=x,x∈R 且x≠0.(Ⅰ)求函数f(x)的解析式;(Ⅱ)求函数f(x)的值域. 展开
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玉宇の9552
2014-12-20 · TA获得超过145个赞
知道答主
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(1)在 2f(x)-f(
1
x
)=x
中,…①…
1
x
代替x,得 2f(
1
x
)-f(x)=
1
x
,…②…
①×2+②,得 3f(x)=2x+
1
x

所以 f(x)=
2x
3
+
1
3x
(x≠0)

所以函数f(x)的解析式为 f(x)=
2x
3
+
1
3x
(x≠0)

(2)由 y=
2x
3
+
1
3x
得3xy=2x 2 +1,即2x 2 -3y?x+1=0.
因为x≠0,x∈R,所以关于x的方程2x 2 -3y?x+1=0有实数根.故△=9y 2 -8≥0,即 y 2
8
9

解得 y≤-
2
2
3
,或 y≥
2
2
3

所以函数f(x)的值域为 (-∞,-
2
2
3
]∪[
2
2
3
,+∞)
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