Question

已知定义在R上的函数f（x）=x 2 （ax-3），其中a为常数．（1）若x=l是函数f（x）的一个极值点，求a的值；

已知定义在R上的函数f（x）=x 2 （ax-3），其中a为常数．（1）若x=l是函数f（x）的一个极值点，求a的值；（2）若函数g（x）=f（x）+f′（x），x∈[0，2]，在x=0处取得最大值，求正数a的取值范围．

Answer 1

（1）∵ f(x)= x 2  (ax-3) =ax 3 -3x 2 ，∴f′（x）=3ax 2 -6x， ∵x=l是函数f（x）的一个极值点，∴f′（1）=0， 解得，a=2，此时f′（x）=6（x 2 -x）=6x（x-1）， ∴当x∈（0，1）时，f′（x）＜0，当x∈（-∞，0），（1，+∞）时，f′（x）＞0， ∴a=2． （2）由题意得g（x）=f（x）+f′（x）=ax 3 +3（a-1）x 2 -6x，a＞0且x∈[0，2]， ∴g′（x）=3ax 2 +6（a-1）x-6=3[ax 2 +2（a-1）x-2]， 令g′（x）=0，即ax 2 +2（a-1）x-2=0， 且△=4（a-1） 2 +8a=4a 2 +4＞0， ∴方程ax 2 +2（a-1）x-2=0有两个不同的根，设为x 1 ，x 2 ，则 x 1 x 2 =- 2 a ＜0，不妨设x 1 ＜0＜x 2 ， 当0＜x 2 ＜2时，g（x 2 ）为极小值，则g（x）在[0，2]上的最大值只能为g（0）或g（2）； 当x 2 ≥2时，则g（x）在[0，2]上是单调减函数， ∴g（x）在[0，2]上的最大值只能为g（0）， 综上得，g（x）在[0，2]上的最大值只能为g（0）或g（2）； ∵g（x）在x=0处取得最大值，∴g（0）≥g（2）， 即0≥20a-24，得a≤ 6 5 ， ∵a＞0，∴a∈（0， 6 5 ]．