Question

已知函数y=f（x）的反函数。定义：若对给定的实数a（a≠0），函数y=f（x+a）与y=f -1 （x+a）互为反函数

已知函数y=f（x）的反函数。定义：若对给定的实数a（a≠0），函数y=f（x+a）与y=f -1 （x+a）互为反函数，则称y=f（x）满足“a和性质”；若函数y=f（ax）与y=f -1 （ax）互为反函数，则称y=f（x）满足“a积性质”。（1）判断函数g（x）=x 2 +1（x＞0）是否满足“1和性质”，并说明理由；（2）求所有满足“2和性质”的一次函数；（3）设函数y=f（x）（x＞0）对任何a＞0，满足“a积性质”。求y=f（x）的表达式。

Answer 1

解：（1）函数 的反函数是 ， ∴ ， 而 ，其反函数为 ， 故函数 不满足“1和性质”； （2）设函数 满足“2和性质”，k≠0， ∴ ， 而 ， 由“2和性质”定义可知 对x∈R恒成立， ∴k=-1，b∈R，即所求一次函数为f（x）=-x+b（b∈R）。 （3）设a＞0，x 0 ＞0，且点 在y=f（ax）图像上， 则 在函数 图象上， 故 ，可得 ， 令 ， ∴ ； 综上所述， ， ， 其反函数就是 ， 而 ， 故y=f（ax）与 互为反函数。