Question

用matlab通过3个已知点求一未知点坐标,使该未知点点到其他点的距离只和最短

x(1)=8.52,x(2)=9.05,x(3)=6.03
y(1)=-13.25,y(2)=-13.72,y(3)=-10.8
求出的点最好不在这三个点组成的三角形内
帮帮忙咯 给出matlab语言

Answer 1

和你的问题比较相近的有个所谓“几何中心”（Centroid）概念，这方面有个重要的结论：【有限个点总存在几何中心，可以通过计算这些点的每个坐标分量的算术平均值得到。这个中心是空间中一点到这有限个点距离的平方和的惟一最小值点。】

不太理解你的这一点要求：【求出的点最好不在这三个点组成的三角形内】。上面说到的几何中心是距离平方和最小，而你要的是距离之和最小，两个概念有些差别，是否一致是否一致我说不好，但应该差别不会很远，至少，都在三角形之内应该是可以预期的。

我试过想通过解析的方法求出这个点，但中学数学学的不太好，大学的很多知识也我忘的差不多了，没能求出来（也许这方面早有明确的结论也说不准）。

如果通过数值的方法求解，就是一个最优化问题，编程应该不难，但还是要和题主确认一下：你所说的【求出的点最好不在这三个点组成的三角形内】是硬性约束吗？如果是是必须考虑的约束，可能会麻烦很多，而且，还有一个问题：可以在三角形的边上吗？

我简单画图试了一下，直观的印象是，如果不允许在三角形之内，那么最小值应该就在三角形的边上，参见下图：

图中，以距离三点的距离和为函数，对x、y取不同点，然后画出等高线来（原始数据三点非常接近一条直线，为清晰起见，我改了第一个点的纵坐标）。由图可见，如果排除三角形内部的区域，则最小值点应该会落在上面的那个边上。

如果不允许包括三角形的边，那么问题应该是无解的——因为，优化问题的基本要求是，可行域必须是封闭的。

追答

正月初二补充：最近两天经常想这个问题，也在网上查找了大量与三角形中心相关的文章（因为我相信这个问题应该会有人研究过），终于找到了完美的答案。

由于问题已被管理员采纳，无法修改，而且在电脑上还无法补充，所以，只能用手机版APP简单说一下。

这样的点称为费马点，最早是由法国数学家皮埃尔·德·费马在一封写给意大利数学家埃万杰利斯塔·托里拆利（气压计的发明者）的信中提出的。托里拆利最早解决了这个问题，而19世纪的数学家斯坦纳重新发现了这个问题，并系统地进行了推广，因此这个点也称为托里拆利点或斯坦纳点。

当三角形有一个内角不小于120°时，费马点即为此角对应顶点。你给的原始数据就属于这种情况。