Question

（2014?齐齐哈尔一模）如图，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，F是AB边上的中点，点D、E分别在AC、BC边

（2014?齐齐哈尔一模）如图，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，F是AB边上的中点，点D、E分别在AC、BC边上运动，且保持AD=CE．连接DE、DF、EF．在此运动变化的过程中，下列结论：①△DFE是等腰直角三角形；②DE长度的最小值为4；③四边形CDFE的面积保持不变；④△CDE面积的最大值为8．其中正确的结论是（　　）A．①②③B．①③C．①③④D．②③④

Answer 1

解答：解：①连接CF．
∵△ABC为等腰直角三角形，
∴∠FCB=∠A=45°，CF=AF=FB，
∵AD=CE，
∴△ADF≌△CEF，
∴EF=DF，∠CFE=∠AFD，
∵∠AFD+∠CFD=90°
∴∠CFE+∠CFD=∠EFD=90°，
∴△EDF是等腰直角三角形，
故本选项正确；

②∵△DEF是等腰直角三角形，
∴当DE最小时，DF也最小，
即当DF⊥AC时，DE最小，此时DF=

1

2

BC=4，
∴DE=

2

DF=4

2

，
故本选项错误；

③∵△ADF≌△CEF，
∴S_△CEF=S_△ADF，
∴S_{四边形CDFE}=S_△DCF+S_△CEF=S_△DCF+S_△ADF=S_△ACF=

1

2

S_△ABC
故本选项正确；

④当△CED面积最大时，由③知，此时△DEF的面积最小，此时，
S_△CED=S_{四边形CEFD}-S_△DEF=S_△AFC-S_△DEF=16-8=8，
故本选项正确；
综上所述正确的有①③④．
故选C．