如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB=AC，∠BAC为直角，D，E分别为BC，AC的中点，AB=2PA．（1）BC上
如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB=AC，∠BAC为直角，D，E分别为BC，AC的中点，AB=2PA．（1）BC上是否存在一点F，使AD∥平面PEF？请说...
如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB=AC，∠BAC为直角，D，E分别为BC，AC的中点，AB=2PA．（1）BC上是否存在一点F，使AD∥平面PEF？请说明理由；（2）对于（1）中的点F，求AF与平面PEF所成角的正弦值．
展开
展开全部
（1）取CD的中点F，连接EF、PF
∵△ACD中，E、F分别为AC、CD的中点，
∴EF∥AD，且EF=
AD
∵EF?平面PEF，AD?平面PEF，
∴AD∥平面PEF，
所以存在CD的中点F，使AD∥平面PEF．
（2）设PA=1，则AB=AC=2
∵△ABC是以BC为斜边的直角三角形，AD是BC边的中线
∴BC=
，且AD=BD=CD=
BC=
Rt△ADF中，DF=
CD=
，可得AF=
=
∵PA⊥平面ABC，AF?平面ABC，
∴PA⊥AF，可得Rt△PAF中，PF=
=
同理可得Rt△PAE中，PE=
=
∴△PEF中，EF=
AD=
，可得cos∠EPF=
=
由同角三角函数关系，得sin∠EPF=
=
∴△EPF的面积S△EPF=
PE?PFsin∠EPF=
×
×
×
=
∵△ACD中，E、F分别为AC、CD的中点，
∴EF∥AD，且EF=
| 1 |
| 2 |
∵EF?平面PEF，AD?平面PEF，
∴AD∥平面PEF，
所以存在CD的中点F，使AD∥平面PEF．
（2）设PA=1，则AB=AC=2
∵△ABC是以BC为斜边的直角三角形，AD是BC边的中线
∴BC=
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 2 |
Rt△ADF中，DF=
| 1 |
| 2 |
| ||
| 2 |
| AD2+DF2 |
| ||
| 2 |
∵PA⊥平面ABC，AF?平面ABC，
∴PA⊥AF，可得Rt△PAF中，PF=
| AP2+AF2 |
| ||
| 2 |
同理可得Rt△PAE中，PE=
| AP2+AE2 |
| 2 |
∴△PEF中，EF=
| 1 |
| 2 |
| ||
| 2 |
| PE2+PF2?EF2 |
| 2PE?PF |
5
| ||
| 14 |
由同角三角函数关系，得sin∠EPF=
| 1?cos2∠EPF |
| ||
| 14 |
∴△EPF的面积S△EPF=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 2 |
| ||
| 2 |
| ||
| 14 |
|
