Question

如图，点A在抛物线y= 1 4 x 2 上，过点A作与x轴平行的直线交抛物线于点B，延长AO，BO分别与

如图，点A在抛物线y= 1 4 x 2 上，过点A作与x轴平行的直线交抛物线于点B，延长AO，BO分别与 抛物线y=- 1 8 x 2 相交于点C，D，连接AD，BC，设点A的横坐标为m，且m＞0．（1）当m=1时，求点A，B，D的坐标；（2）当m为何值时，四边形ABCD的两条对角线互相垂直；（3）猜想线段AB与CD之间的数量关系，并证明你的结论．

Answer 1

（1）∵点A在抛物线y= 1 4 x 2 上，且x=m=1， ∴A（1， 1 4 ），（1分） ∵点B与点A关于y轴对称， ∴B（-1， 1 4 ）．（2分） 设直线BD的解析式为y=kx， ∴k=- 1 4 ， ∴y=- 1 4 x．（3分） 解方程组 y=- 1 4 x y=- 1 8 x 2 ， 得D（2，- 1 2 ）．（4分） （2）当四边形ABCD的两对角线互相垂直时， 由对称性得直线AO与x轴的夹角等于45° 所以点A的纵、横坐标相等，（5分） 这时， 设A（a，a），代入y= 1 4 x 2 ， 得a=4， ∴A（4，4）， ∴m=4． 即当m=4时，四边形ABCD的两条对角线互相垂直．（7分） （3）线段CD=2AB．（8分） 证明：∵点A在抛物线y= 1 4 x 2 ，且x=m， ∴A（m， 1 4 m 2 ）， 得直线AO的解析式为y= m 4 x， 解方程组 y= m 4 x y=- 1 8 x 2 ， 得点C（-2m，- 1 2 m 2 ）（9分） 由对称性得点B（-m， 1 4 m 2 ），D（2m，- 1 2 m 2 ），（10分） ∴AB=2m，CD=4m， ∴CD=2AB．（11分）