Question

如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是：大正方形的面积有

如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是：大正方形的面积有两种求法，一种是等于c 2 ，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即 1 2 ab×4+(b-a ) 2 ，从而得到等式c 2 = 1 2 ab×4+(b-a ) 2 ，化简便得结论a 2 +b 2 =c 2 ．这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”．现在，请你用“双求法”解决下面两个问题（1）如图2，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的高，AC=3，BC=4，求CD的长度．（2）如图3，在△ABC中，AD是BC边上的高，AB=4，AC=5，BC=6，设BD=x，求x的值．

Answer 1

（1）在Rt△ABC中 AB= 3 2 + 4 2 =5 …（2分） 由面积的两种算法可得： 1 2 ×3×4= 1 2 ×5×CD …（4分） 解得：CD= 12 5 …（5分） （2）在Rt△ABD中AD 2 =4 2 -x 2 =16-x 2 …（6分） 在Rt△ADC中AD 2 =5 2 -（6-x） 2 =-11+12x-x 2 …（8分） 所以16-x 2 =-11+12x-x 2 …（9分） 解得 x= 27 12 …（10分）