Question

如图，扇形OAB的半径OA=r，圆心角∠AOB=90°，点C是 上异于A、B的动点，过点C作CD⊥OA于点D，作CE⊥OB于

如图，扇形OAB的半径OA=r，圆心角∠AOB=90°，点C是 上异于A、B的动点，过点C作CD⊥OA于点D，作CE⊥OB于点E，点M在DE上，DM=2EM，过点C的直线CP交OA的延长线于点P，且∠CPO=∠CDE。 （1）求证：DM= r；（2）求证：直线CP是扇形OAB所在圆的切线；（3）设y=CD 2 +3CM 2 ，当∠CPO=60°时，请求出y关于r的函数关系式。

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Answer 1

（1）证明：如图，连结OC，         ∵点C是 上异于A、B的点，         又CD⊥OA于点D，CE⊥OB于E，         ∴∠ODC=∠OEC=∠AOB=90°，         ∴四边形ODCE是矩形，         ∴DE=OC，         ∵OC=OA=r，∴DE=r，         又∵DM=2EM，         ∴DM= DE= r。 （2）证明：设OC与DE交于点F，     则在矩形ODCE中，FC=FD，     ∴∠CDE=∠DCO，     又∵∠CPD+∠PCD=90°，∠CPD=∠CDE，     ∴∠DCO+∠PCD=90°，即PC⊥OC于点C，     又∵OC是扇形OAB的半径，     ∴PC是扇形OAB所在圆的切线。 （3）解：过点C作CH⊥DE于点H，     ∵∠OCD=∠CDH=∠CPO=60°，     ∴在Rt△OCD和Rt△CDH中，     CD= OC= r，DH= CD= r，CH= r，     又MH=DM-DH= r- r= r，     ∴在Rt△CMH中，         ，     则y=          = = 。