Question

在边长为2的正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，P是BD上一动点，过P作EF ∥ AC，分别交正方形的两条边

在边长为2的正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，P是BD上一动点，过P作EF ∥ AC，分别交正方形的两条边于点E，F．设BP=x，△BEF的面积为y，则能反映y与x之间关系的图象为（　　） A． B． C． D．

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Answer 1

∵四边形ABCD是正方形， ∴AC=BD=2 2 ，OB=OD= 1 2 BD= 2 ， ①当P在OB上时，即0≤x≤ 2 ， ∵EF ∥ AC， ∴△BEF ∽ △BAC， ∴EF：AC=BP：OB， ∴EF=2BP=2x， ∴y= 1 2 EF?BP= 1 2 ×2x×x=x 2 ； ②当x在OD上时，即 2 ＜x≤2 2 ， ∵EF ∥ AC， ∴△DEF ∽ △DAC， ∴EF：AC=DP：OD， 即EF：2 2 =（2 2 -x）： 2 ， ∴EF=2（2 2 -x）， ∴y= 1 2 EF?BP= 1 2 ×2（2 2 -x）×x=-x 2 + 2 x， 这是一个二次函数，根据二次函数的性质可知： 二次函数的图象是一条抛物线，开口方向决定，二次项的系数． 当系数＞0时，抛物线开口向上；系数＜0时，开口向下．所以由此图我们会发现，EF的取值，最大是AC．当在AC的左边时，EF=2BP；所以此抛物线开口向上，当在AC的右边时，抛物线就开口向下了．故选C．