Question

如图，AB是⊙O的直径，BC为⊙O的切线，D为⊙O上的一点，CD=CB，延长CD交BA的延长线于点E． （1）求证：C

如图，AB是⊙O的直径，BC为⊙O的切线，D为⊙O上的一点，CD=CB，延长CD交BA的延长线于点E． （1）求证：CD为⊙O的切线；（2）若BD的弦心距OF=1，∠ABD=30°，求图中阴影部分的面积．（结果保留π）

Answer 1

（1）证明详见解析；（2）阴影部分的面积为 ，理由详见解析.

试题分析：本题考查了切线的判定与性质、垂径定理以及扇形的面积.解题时首先根据已知切线应连接OD.（1）如图，连接OD，只要求证OD⊥CE即可求解.由BC是⊙O的切线，可得∠ABC=90°，又由CD=CB，OB=OD，易证得∠ODC=∠ABC=90°，即可证得CD为⊙O的切线； （2）在Rt△OBF中，∠ABD=30°，OF=1，可求得BD的长，∠BOD的度数，又由S 阴影 =S 扇形OBD -S △BOD ，即可求得答案． 试题解析： （1）证明：连接OD ∵BC是⊙O的切线 ∴∠ABC=90° ∵CD=CB， ∴∠CBD=∠CDB ∵OB=OD ∴∠OBD=∠ODB ∴∠ODC=∠ABC=90° 即OD⊥CD ∴CD为⊙O的切线 （2）解：在Rt△OBF中， ∵∠ABD=30°，OF=1， ∴∠BOF=60°，OB=2，BF= ∵OF⊥BD， ∴BD=2BF= ，∠BOD=2∠BOF=120°， ∴S 阴影 =S 扇形OBD -S △BOD = ．