Question

如图，在四棱锥P－ABCD中，∠ABC=∠ACD=90°，∠BAC=∠CAD=60°，PA⊥平面ABCD,E为PD的中点，PA=2AB=2。

如图，在四棱锥P－ABCD中，∠ABC=∠ACD=90°，∠BAC=∠CAD=60°，PA⊥平面ABCD,E为PD的中点，PA=2AB=2。 (1)求证：CE∥平面PAB;(2)求四面体PACE的体积.

Answer 1

(1)详见解析；(2)

试题分析：(1)要证CE∥平面PAB，可以转换为证明 ，而要证明 又可转化为 与 （另外也可以转化为线线平行） ；(2)要求四面体PACE的体积，可转换顶点求以E为顶点PAC为底面的三棱锥的体积. 试题解析：(1)法一：取AD得中点M，连接EM,CM. 则EM//PA             1分 因为 所以，       2分 在 中， 所以， 而 ,所以,MC//AB.  3分 因为   所以，        4分 又因为 所以， 因为   6分 法二：    延长DC,AB,交于N点，连接PN. 1分 因为 所以，C为ND的中点.                        3分 因为E为PD的中点，所以，EC//PN 因为                          6分 （2）法一：由已知条件有;AC=2AB=2,AD=2AC=4,CD=  7分 因为， ，所以，             8分 又因为 所以，                       10分 因为E是PD的中点 所以点E平面PAC的距离  ， 所以，四面体PACE的体积  12分 法二：由已知条件有;AC=2AB=2,AD=2AC=4,CD= 因为， 所以，     10分 因为E是PD的中点 所以，四面体PACE的体积       12分