Question

如图，已知四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB∥DC，∠ABC=45°，DC=1，AB=2，PA⊥平面ABCD，PA=1．

如图，已知四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB∥DC，∠ABC=45°，DC=1，AB=2，PA⊥平面ABCD，PA=1．（1）求证：AB∥平面PCD（2）求证：BC⊥平面PAC（3）求二面角A-PC-D的平面角a的正弦值．

Answer 1

（1）证明：如图，
∵AB∥DC，且AB?平面PCD，DC?平面PCD．
∴AB∥平面PCD；
（2）证明：在直角梯形ABCD中，过C作CE⊥AB于点E，则四边形ADCE为矩形．
∴AE=DC=1，又AB=2，∴BE=1，在Rt△BEC中，∠ABC=45°，
∴CE=BE=1，CB=

2

．
∴AD=CE=1，
则AC＝

AD2+DC2

＝

2

，AC²+BC²=AB²．
∴BC⊥AC．
又∵PA⊥平面，∴PA⊥BC，
又PA∩AC=A．
所以BC⊥平面PAC．
（3）解：以A为坐标原点，分别以AD，AB，AP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
则A（0，0，0），P（0，0，1），C（1，1，0），D（1，0，0）．
∴

AP

＝(0，0，1)，

PC

＝(1，1，?1)，

PD

＝(1，0，?1)．
设

m

＝(a，b，c)为平面PAC的一个法向量，
由

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