Question

已知数列{an}的各项均为正整数，其前n项和为Sn．若an+1＝an2， an是偶数3an+1，an是奇数且S3=29，则a1=__

已知数列{an}的各项均为正整数，其前n项和为Sn．若an+1＝an2， an是偶数3an+1，an是奇数且S3=29，则a1=______；S3n=______．

Answer 1

（1）①若a1＝4k(k∈N*)，则a₂=2k，a₃=k，∴S₃=a₁+a₂+a₃=7k=29，k＝

29

7

不是整数，舍去；
②若a₁=4k+1，则a₂=3（4k+1）+1=12k+4，a₃=6k+2，∴S₃=a₁+a₂+a₃=22k+7=29，解得k=1，∴a₁=5．
③若a₁=4k+2，则a2＝

a1

2

＝2k+1，a₃=3a₂+1=3（2k+1）+1=6k+4，则S₃=a₁+a₂+a₃=12k+7=29，解得k=

11

6

，应舍去；
④若a₁=4k+3，则a₂=3（4k+3）+1=12k+10，a3＝

a2

2

＝6k+5，则S₃=a₁+a₂+a₃=22k+18=29，解得k=

1

2

不是整数，舍去．
综上可得：a₁=5
（2）∵a₁=5，a₂=16，a₃=8，∴a₄=4，a₅=2，a₆=1，a₇=4，a₈=2，a₉=1…．
可以看到：从a₄开始数列{a_n}是一个周期为3的数列，即a_n+3=a_n，（n≥4）．
因此，当n≥2时，S_3n=29+7（n-1）=7n+22，当n=1时，上式也成立，故S_3n=7n+22．