Question

已知函数f（x）=ax2+bx+5（常数a，b∈R）满足f（1）+f（-1）=14．（1）求出a的值，并就常数b的不同取值讨

已知函数f（x）=ax2+bx+5（常数a，b∈R）满足f（1）+f（-1）=14．（1）求出a的值，并就常数b的不同取值讨论函数f（x）奇偶性；（2）若f（x）在区间（-∞，-30.5）上单调递减，求b的最小值；（3）在（2）的条件下，当b取最小值时，证明：f（x）恰有一个零点q且存在递增的正整数数列{an}，使得25=q a1+q a2+q a3+…+q an+…成立．

Answer 1

（1）由f（1）+f（-1）=14得（a+b+5）+（a-b+5）=14，所以解得a=2；
所以f（x）=2x2+

b

x

+5，定义域为（-∞，0）∪（0，+∞）；
当b=0时，对于定义域内的任意x，有f（-x）=f（x）=2x²+5，所以f（x）为偶函数．
当b≠0时，f（1）+f（-1）=14≠0，所以f（-1）≠-f（1），所以f（x）不是奇函数；f（-1）-f（1）=-2b≠0，所以f（x）不是偶函数；
所以，b=0时f（x）为偶函数，b≠0时，f（x）为非奇非偶函数．
（2）f′（x）=4x?

b

x2

=

4x3?b

x2

=0，解得x=

3	b 4

，所以x∈（-∞，

3	b 4

）时，f′（x）＜0，所以f（x）在（-∞，

3	b 4

）上单调递减，又f（x）在(?∞，?

3	0.5

)上单调递减，所以?

3	0.5

≤

3	b 4

，解得 b≥-2，所以b的最小值是-2．
（3）在（2）的条件下，f（x）=2x2?

2

x

+5；
当 x＜0时，f（x）＞0恒成立，函数f（x）在（-∞，0）上无零点；
当 x＞0时，f′（x）=4x+

2

x2

＞0，所以函数f（x）在（0，+∞）上递增，又f（

1

4

）=?

23

8

＜0，f（1）=5＞0；
∴f（x）在（

1

4

，1）上有一个零点q，即q∈(

1

4

，1)，且f（q）=2