Question

已知y=f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=2x-x2．（1）求y=f（x）的解析式；（2）画出函数y=f

已知y=f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=2x-x2．（1）求y=f（x）的解析式；（2）画出函数y=f（x）的图象，并指出f（x）的单调区间及在每个区间上的增减性；（3）若函数y=f（x）的定义域为[a，b]，值域为[1b， 1a] (1≤a＜b)，求实数a、b的值．

Answer 1

解答：解：（1）当x＜0时，-x＞0，∴f（x）=-f（-x）=-[2（-x）-（-x）²]=2x+x²（2分）
∴f（x）的解析式为  f(x)＝

2x?x2 (x≥0) 2x+x2 (x＜0)

（4分）
（2）f（x）的图象如右图：f（x）在（-∞，-1]和[1，+∞）上是减函数f（x）在[-1，1]上是增函数（9分）
（3）∵f（x）在[1，+∞）上是减函数，且1≤a＜b，∴f（x）在[a，b]上是减函数
∴

f(a)＝ 1 a f(b)＝ 1 b

（10分）
即 

2a?a2＝ 1 a 2b?b2＝ 1 b

（12分）?

(a?1)(a2?a?1)＝0 (b?1)(b2?b?1)＝0

，
解得 

a＝1 或 a＝ 1± 5 2 b＝1 或 b＝ 1± 5 2

∵1≤a＜b，∴

a＝1 b＝ 1+ 5 2

（13分）