Question

已知等比数列{an}的各项均为正数，且2a1+3a2=1，a32=9a2a6．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）设bn=log

已知等比数列{an}的各项均为正数，且2a1+3a2=1，a32=9a2a6．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）设bn=log3a1+log3a2+…+log3an，Tn＝1b1+1b2+…+1bn，求使(7?2n)Tn＜kn?2n+1(n+1)恒成立，求实数k范围．

Answer 1

（Ⅰ）设数列{a_n}的公比为q，由a₃²=9a₂a₆得a₃²=9a₄²所以q²=

1

9

．
由条件可知q＞0，故q=

1

3

．                  （3分）
由2a₁+3a₂=1得2a₁+3a₁q=1，所以a₁=

1

3

．（6分）
故数列{a_n}的通项式为a_n=

1

3n

．                 （7分）
（Ⅱ）b_n=log₃a₁+log₃a₂+…+log₃a_n
=-（1+2+3+…+n）
=?

n(n+1)

2

           （9分）
故

1

bn

=?

2

n(n+1)

=?2(

1

n

?

1

n+1

)       （10分）
Tn＝

1

b1

+

1

b2

+…+

1

bn

=?2[(

1

1

?

1

2

)+(

1

2

?

1

3

)+…+(

1

n

?

1

n+1

)]=?

2n

n+1

．（11分）
所以数列{

1

bn

}的前n项和为?

2n

n+1

．化简得k≥

2n?7

2n

对任意n∈N^*恒成立
设Cn＝

2n?7

2n

，则Cn+1?Cn＝

2(n+1)?7

2n+1

?

2n?7

2n

=

9?2n

2n+1

．
当n≥5，C_n+1≤C_n，{C_n}为单调递减数列，
当1≤n＜5，C_n+1＞C_n，{C_n}为单调递增数列

1

16

＝C4＜C5＝

3

32

，所以，n=5时，C_n取得最大值

3

32

，
所以，要使k≥

2n?7

2n

对任意n∈N^*恒成立，k≥

3

32

…14分