Question

如图一，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，P为BC边上任意一点，点Q为AC边动点，分别以Cm、MQ为边做等

如图一，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，P为BC边上任意一点，点Q为AC边动点，分别以Cm、MQ为边做等边△MPF和等边△PQE，连接EF．（一）试探索EF与AB位置关系，并证明；（5）如图5，当点P为BC延长线上任意一点时，（一）结论是否成立？请说明理由．（3）如图3，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=m°，P为BC延长线上一点，点Q为AC边动点，分别以CP、PQ为腰做等腰△PCF和等腰△PQE，使得PC=PF，PQ=PE，连接EF．要使（一）的结论依然成立，则需要添加怎样的条件？为什么？

Answer 1

(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析

（1）通过等边三角形的性质（三条边相等、三个角相等）求得PF=PC，PE=PQ，∠EPF=∠QPC；然后根据全等三角形的判定定理SAS证明△PFE≌△PCQ，再根据全等三角形的性质（对应角相等）知∠EPF=∠QPC=90°；接下来由平行线的判定定理（同位角相等，两直线平行）知PF∥AB；最后由平行线的性质（两平行线中，有一条垂直于第三条直线，则另一条也垂直于第三条直线）知EF⊥AB； （2）通过等边三角形的性质（三条边相等、三个角相等）求得PF=PC，PE=PQ，∠EPF=∠QPC；然后根据全等三角形的判定定理SAS证明△PFE≌△PCQ，再根据全等三角形的性质（对应角相等）知∠EPF=∠QPC=90°；接下来由平行线的判定定理（内错角相等，两直线平行）知PF∥AB；最后由平行线的性质（两平行线中，有一条垂直于第三条直线，则另一条也垂直于第三条直线）知EF⊥AB； （3）需要添加的条件需满足：△PFE≌△PCQ、PF∥AB（内错角相等，两直线平行）． 解：（1）EF⊥AB． ∵△PCF和△PQE都是等边三角形， ∴PF=PC，PE=PQ， ∠EPF+∠FPQ=∠QPC+∠FPQ=60°， ∴∠EPF=∠QPC， ∴△PFE≌△PCQ； ∴∠EPF=∠QPC=60°， ∴EF⊥PF； 在Rt△ABC中，∠ACB=60°，∠A=30°， ∴∠B=60°； 又∵∠FPC=60°， ∴∠B=∠FPC， ∴PF∥AB（同位角相等，两直线平行）， ∴EF⊥AB； （2）当点P为BC延长线上任意一点时，（1）结论成立． 证明：∵△PCF和△PQE都是等边三角形， ∴PF=PC，PE=PQ， ∠EPF+∠EPC=∠QPC+∠EPC=60°， ∴∠EPF=∠QPC， ∴△PFE≌△PCQ； ∴∠EFP=∠QCP=60°， ∴EF⊥PF； 在Rt△ABC中，∠ACB=60°，∠A=30°， ∴∠B=60°； 又∵∠FPC=60°， ∴∠B=∠FPC， ∴PF∥AB（内错角相等，两直线平行）， ∴EF⊥AB； （3）要使（1）1结论依然成立，则需要添加条件是：∠CPF=∠B=∠QPE． 需要证明△PFE≌△PCQ、PF∥AB（内错角相等，两直线平行），才能证明EF⊥AB．