Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，M、N分别为PA、BC的中点，PD⊥平面ABCD，且PD=AD=2，CD=1．（1

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，M、N分别为PA、BC的中点，PD⊥平面ABCD，且PD=AD=2，CD=1．（1）证明：MN∥平面PCD；（2）证明：MC⊥BD；（3）求二面角A-PB-D的余弦值．

Answer 1

（1）证明：取AD中点E，连接ME，NE，
由已知M，N分别是PA，BC的中点，
∴ME∥PD，NE∥CD
又ME，NE?平面MNE，ME∩NE=E，
所以，平面MNE∥平面PCD，（2分）
所以，MN∥平面PCD（3分）

（2）证明：因为PD⊥平面ABCD，
所以PD⊥DA，PD⊥DC，
在矩形ABCD中，AD⊥DC，
如图，以D为坐标原点，
射线DA，DC，DP分别为x轴、y轴、z轴的正半轴建立空间直角坐标系（4分）
则D（0，0，0），A（

2

，0，0），B（

2

，1，0）C（0，1，0），P（0，0，

2

）（6分）
所以M（

2

2

，0，

2

2

），

BD

＝(?

2

，?1，0)，

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