Question

如图所示，空间有沿y轴负方向的匀强电场和垂直于xOy平面（纸面）向里的匀强磁场．一带正电的粒子从P点以

如图所示，空间有沿y轴负方向的匀强电场和垂直于xOy平面（纸面）向里的匀强磁场．一带正电的粒子从P点以一定的速度平行于x轴正向入射．若只有磁场，粒子将做半径为R0的圆周运动；若同时存在电场和磁场，粒子恰好做直线运动．现只加上述电场，当粒子从P点运动到x=R0处时，立即将电场改为上述磁场，粒子恰好不打在x轴上，不计粒子的重力．（1）求粒子到达x=R0处时速度方向与x轴的夹角；（2）求粒子在虚线右侧做圆周运动的半径以及P点离x轴距离h；（3）若粒子再次运动到x=R0处时，再将磁场改为上述电场，求该粒子打到y轴上的点离P点的距离以及该粒子从P点射入后在电场中与磁场中运动时间之比．

Answer 1

（1）粒子做直线运动，则：qE=qv₀B，
粒子做圆周运动，由牛顿第二定律得：qv₀B=m

v 2 0

R0

，
只有电场时，粒子做类平抛运动，有：
a=

qE

m

，R₀=v₀t，v_y=at，
解得：v_y=v₀，
此时粒子速度大小为：v=

v 2 0 + v 2 y

=

2

v₀，
速度方向与x轴夹角为：θ=

π

4

；
（2）撤除电场加上磁场后，粒子做圆周运动，
由牛顿第二定律得：qvB=m

v2

R

，
解得：R=

2

R₀，
粒子在电场方向的位移：y₁=

1

2

at²，
解得：y₁=

1

2

R₀，
P点离x轴的距离：h=

1

2

R₀+（

2

R₀-R₀）=

2

R₀-

1

2

R₀；
（3）粒子再次进入电场后的运动轨迹可以看成上述类平抛运动的延续，
根据运动学知识，粒子沿电场方向的位移：y₂=3y₁=

3

2

R₀，
而粒子在磁场中运动的入场点和出场点A、B间距离为2R₀
粒子打在y轴上的Q点与P点重合，即y_PQ=0，
粒子在电场中运动的时间：t₁=

2R0

v0

，
粒子在磁场中运动的时间：t₂=

3

4

×

2 2 πR0

2 v0

=

3R0

2v0

，
粒子在电场中与磁场中运动时间之比为：

t1

t2

=

4

3π

；
答：（1）粒子到达x=R₀处时速度方向与x轴的夹角为

π

4

；
（2）粒子在虚线右侧做圆周运动的半径以及P点离x轴距离h为

2

R₀-

1

2

R₀；
（3）该粒子打到y轴上的点离P点的距离y_PQ=0，该粒子从P点射入后在电场中与磁场中运动时间之比为

4

3π

．