Question

A是椭圆长轴上的一个端点,O是椭圆的中心,若椭圆上存在一点P，使∠OPA=π/2，求椭圆离心率的范围

A是椭圆长轴的一个端点，O是椭圆的中心，若椭圆上存在一点P，使∠OPA=π/2，求椭圆离心率的范围。要详细过程，急~答得好追加分，谢！！！

Answer 1

：如图,设P(x,y),由∠OPA=知点P在以AO为直径的圆上,

即(x+)2+y2=.
联立方程组消去y,得
(a2-b2)x2+a3x+a2b2=0.
解得x=-a,或x=.
当x=-a时,P与A重合,不满足题意,舍去.故P点的横坐标为x=.
又∵＞-a,
∴a2＞2b2,
即a2＞2(a2-c2),
即e2=＞,e＞.
又∵0＜e＜1,∴√2/2＜e＜1,
即椭圆离心率的范围是(√2/2,1).