Question

如图，已知∠3=∠1+∠2，求证：∠A+∠B+∠C+∠D=180°

如图，已知∠3=∠1+∠2，求证：∠A+∠B+∠C+∠D=180°．

Answer 1

证明：过G作GH ∥ EB，


∵∠3=∠1+∠2=∠EGK+∠FGK，
∴∠1=∠EGK，
∴∠2=∠FGK，
∴GH ∥ CF，
∴BE ∥ CF，
∵∠A+∠B=∠BMD，∠C+∠D=∠ANC，
∴∠A+∠B+∠C+∠D=∠BMD+∠ANC，
∵BE ∥ CF，
∴∠BMD+∠ANC=180°（两直线平行，同旁内角互补），
∴∠A+∠B+∠C+∠D=∠BMD+∠ANC=180°．

Answer 2

证明：过G作∠3内部一点K，使∠EGK=∠1，如图：

图

这样可得 EB⫽GK（内错角相等，两直线平行），

∵ ∠3=∠1+∠2（已知），

∴ ∠3=∠EGK+∠2（等量代换），

又∵ ∠3=∠EGK+∠FGK，

∴ ∠2=∠FGK（等式的性质1、等量代换），

∴ GK⫽CF（内错角相等，两直线平行），

∴ BE⫽CF（平行公理的推论），

∴ ∠4+∠5=180°（两直线平行，同旁内角互补），

∵ ∠A+∠B=∠4，∠C+∠D=∠5（三角形内角和定理的推论），

∴ ∠A+∠B+∠C+∠D=180°（等量代换）。