Question

某数学兴趣小组开展了一次活动，过程如下：设∠BAC=θ（0°＜θ＜90°）．现把小棒依次摆放在两射线之间

某数学兴趣小组开展了一次活动，过程如下：设∠BAC=θ（0°＜θ＜90°）．现把小棒依次摆放在两射线之间，并使小棒两端分别落在射线AB，AC上．活动一：如图甲所示，从点A 1 开始，依次向右摆放小棒，使小棒与小棒在端点处互相垂直，A 1 A 2 为第1根小棒．数学思考：（1）小棒能无限摆下去吗？答： 　 _________ 　 ．（填“能”或“不能”）（2）设AA 1 =A 1 A 2 =A 2 A 3 =1．①θ= 　_________ 　 度；②若记小棒A 2n ﹣ 1 A 2n 的长度为a n （n为正整数，如A 1 A 2 =a 1 ，A 3 A 4 =a 2 ，…）求出此时a 2 ，a 3 的值，并直接写出a n （用含n的式子表示）． 活动二：如图乙所示，从点A 1 开始，用等长的小棒依次向右摆放，其中A 1 A 2 为第1根小棒，且A 1 A 2= AA 1 ．数学思考：（3）若已经摆放了3根小棒，θ 1 = 　_________ 　 ，θ 2 = 　_________ 　 ，θ 3 = 　_________ 　 ；（用含θ的式子表示）（4）若只能摆放4根小棒，求θ的范围．

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Answer 1

（1）能 （2）①θ=22.5°   ②       （3）θ 1 =2θ，θ 2 =3θ，θ 3 =4θ （4）18°≤θ＜22.5°

试题分析：（1）能． 因为角的两条边为两条射线，没有长度，所以小棒可以无限摆放下去； （2）①∵AA 1 =A 1 A 2 =A 2 A 3 =1，A 1 A 2 ⊥A 2 A 3 ∴θ 2 =45°， θ=22.5°． 故答案为22.5； ②∵AA 1 =A 1 A 2 =A 2 A 3 =1，A 1 A 2 ⊥A 2 A 3 ， ∴A 1 A 3 = ，AA 3 = ． 又∵A 2 A 3 ⊥A 3 A 4 ， ∴A 1 A 2 ∥A 3 A 4 ． 同理：A 3 A 4 ∥A 5 A 6 ， ∴∠A=∠AA 2 A 1 =∠AA 4 A 3 =∠AA 6 A 5 ， ∴AA 3 =A 3 A 4 ，AA 5 =A 5 A 6 ∴a 2 =A 3 A 4 =AA 3 = ， a 3 =AA 3 +A 3 A 5 =a 2 +A 3 A 5 ． ∵A 3 A 5 = a 2 ， ∴a 3 =A 5 A 6 =AA 5 = ． ∴ ； （3）∵A 1 A 2= AA 1 ∴θ 1 =∠A 2 A 1 A 3 =2θ， ∴θ 2 =∠A 2 A 4 A 3 =θ+2θ=3θ， ∴θ 3 =∠A 2 A 4 A 3 +θ=4θ， 故答案为θ 1 =2θ，θ 2 =3θ，θ 3 =4θ； （4）由题意得： ， ∴18°≤θ＜22.5°． 点评：本题主要考查相似三角形的判定和性质、勾股定理、解一元一次不等式、等腰直角三角形的性质等知识点，解题的关键在于找到等量关系，求相关角的度数等．