Question

已知函数f（x）=e x ﹣ax﹣1（a＞0，e为自然对数的底数）．（1）求函数f（x）的最小值；（2）若f（x）≥0

已知函数f（x）=e x ﹣ax﹣1（a＞0，e为自然对数的底数）．（1）求函数f（x）的最小值；（2）若f（x）≥0对任意的x∈R恒成立，求实数a的值；（3）在（2）的条件下，证明： ．

Answer 1

（1）解：由题意a＞0，f′（x）=e x ﹣a， 由f′（x）=e x ﹣a=0得x=lna． 当x∈（﹣∞，lna）时，f′（x）＜0；当x∈（lna，+∞）时，f′（x）＞0． ∴f（x）在（﹣∞，lna）单调递减，在（lna，+∞）单调递增． 即f（x）在x=lna处取得极小值，且为最小值， 其最小值为f（lna）=e lna ﹣alna﹣1=a﹣alna﹣1． （2）解：f（x）≥0对任意的x∈R恒成立，即在x∈R上，f（x） min ≥0． 由（1），设g（a）=a﹣alna﹣1， 所以g（a）≥0． 由g′（a）=1﹣lna﹣1=﹣lna=0得a=1． ∴g（a）在区间（0，1）上单调递增，在区间（1，+∞）上单调递减， ∴g（a）在a=1处取得最大值，而g（1）=0． 因此g（a）≥0的解为a=1， ∴a=1． （3）证明：由（2）知，对任意实数x均有e x ﹣x﹣1≥0，即1+x≥e x ． 令 （n∈N*，k=0，1，2，3，…，n﹣1），则 ． ∴ ． ∴ = ．