(2013?枣庄)如图,AB是⊙O的直径,AC是弦,直线EF经过点C,AD⊥EF于点D,∠DAC=∠BAC.(1)求证:EF是
(2013?枣庄)如图,AB是⊙O的直径,AC是弦,直线EF经过点C,AD⊥EF于点D,∠DAC=∠BAC.(1)求证:EF是⊙O的切线;(2)求证:AC2=AD?AB;...
(2013?枣庄)如图,AB是⊙O的直径,AC是弦,直线EF经过点C,AD⊥EF于点D,∠DAC=∠BAC.(1)求证:EF是⊙O的切线;(2)求证:AC2=AD?AB;(3)若⊙O的半径为2,∠ACD=30°,求图中阴影部分的面积.
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(1)证明:连接OC,
∵OA=OC,
∴∠BAC=∠OCA,
∵∠DAC=∠BAC,
∴∠OCA=∠DAC,
∴OC∥AD,
∵AD⊥EF,
∴OC⊥EF,
∵OC为半径,
∴EF是⊙O的切线.
(2)证明:连接BC,
∵AB为⊙O直径,AD⊥EF,
∴∠BCA=∠ADC=90°,
∵∠DAC=∠BAC,
∴△ACB∽△ADC,
∴
=
,
∴AC2=AD?AB.
(3)解:∵∠ACD=30°,∠OCD=90°,
∴∠OCA=60°,
∵OC=OA,
∴△OAC是等边三角形,
∴AC=OA=OC=2,∠AOC=60°,
∵在Rt△ACD中,AD=
AC=
×2=1,
由勾股定理得:DC=
,
∴阴影部分的面积是S=S梯形OCDA-S扇形OCA=
×(2+1)×
-
=
-
π.
∵OA=OC,
∴∠BAC=∠OCA,
∵∠DAC=∠BAC,
∴∠OCA=∠DAC,
∴OC∥AD,
∵AD⊥EF,
∴OC⊥EF,
∵OC为半径,
∴EF是⊙O的切线.
(2)证明:连接BC,
∵AB为⊙O直径,AD⊥EF,
∴∠BCA=∠ADC=90°,
∵∠DAC=∠BAC,
∴△ACB∽△ADC,
∴
AD |
AC |
AC |
AB |
∴AC2=AD?AB.
(3)解:∵∠ACD=30°,∠OCD=90°,
∴∠OCA=60°,
∵OC=OA,
∴△OAC是等边三角形,
∴AC=OA=OC=2,∠AOC=60°,
∵在Rt△ACD中,AD=
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2 |
1 |
2 |
由勾股定理得:DC=
3 |
∴阴影部分的面积是S=S梯形OCDA-S扇形OCA=
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2 |
3 |
60π×22 |
360 |
3
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