Question

（2013?湛江一模）如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD的交点为G，AD⊥平面ABE，AE⊥EB，AE=EB=BC=2，F为CE上

（2013?湛江一模）如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD的交点为G，AD⊥平面ABE，AE⊥EB，AE=EB=BC=2，F为CE上的点，且BF⊥CE．（1）求证：AE⊥平面BCE；（2）求证：AE∥平面BFD；（3）求三棱锥C-GBF的体积．

Answer 1

解答：证明：（1）∵AD⊥平面ABE，AD∥BC，∴BC⊥平面ABE，∴BC⊥AE．
又∵AE⊥EB，EB∩BC=B，∴AE⊥平面BCE；
（2）∵G是矩形ABCD的对角线AC、BD的交点，∴AG=GC．
在△EBC中，∵EB=BC，BF⊥CE，∴EF=FC．
∴FG∥AE．
又FG?平面BFD，AE?平面BFD，
∴AE∥平面BFD．
（3）解：由三角形的中位线定理可得：FG∥AE，FG＝

1

2

AE=1．
∵AE⊥平面BCE，∴FG⊥平面BCE．
Rt△BCE中，EB=BC=2，F是EC的中点，
∴S△BCF＝

1

2

S△BCE=

1

2

×

1

2

×22=1，
∴V_C-GBF=V_G-BCF=

1

3

×GF×S△BCF=

1

3

×1×1＝

1

3

．