Question

在几何体ABCDE中，∠BAC=π2，DC⊥平面ABC，EB⊥平面ABC，AB=AC=BE=2，CD=1．（Ⅰ）设F为BC的中点，求证

在几何体ABCDE中，∠BAC=π2，DC⊥平面ABC，EB⊥平面ABC，AB=AC=BE=2，CD=1．（Ⅰ）设F为BC的中点，求证：平面AFD⊥平面AFE；（Ⅱ）设平面ABE与平面ACD的交线为直线l，求证：l∥平面BCDE；（Ⅲ）求几何体ABCDE的体积．

Answer 1

解答：（1）证明：∵DC⊥平面ABC，
∴DC⊥AF，
∵AB=AC，F是BC的中点，
∴AF⊥BC，AF⊥平面BCDE，
∴AF⊥DF，AF⊥EF，
∴∠DFE是面AFD和面AFE所成二面角的平面角．
在△DEF中，FD=

3

，FE=

6

，DE=3，
FD⊥FE，即∠DFE=90°，
∴平面AFD⊥平面AFE．
（2）证明：∵DC⊥平面ABC，EB⊥平面ABC，
∴DC∥BE，
∴DC∥平面ABE，
又l=平面ACD∩平面ABE，
∴DC∥l，
又l?平面BCDE，DC?平面BCDE，
∴l∥平面BCDE．
（3）几何体ABCDE的体积V=V_A-BCDE=

1

3

?S_BCDE?AF=

1

3

×

1

2

×（1+2）×2

2

×

2

=2．