Question

已知a1=9，点（an，an+1）在函数f（x）=x2+2x的图象上，其中n=1，2，3，…，设bn=lg（1+an）．（1）证明

已知a1=9，点（an，an+1）在函数f（x）=x2+2x的图象上，其中n=1，2，3，…，设bn=lg（1+an）．（1）证明数列{bn}是等比数列；（2）设Cn=nbn+1，求数列{Cn}的前n项和；（3）设dn＝1an+1an+2，求数列{dn}的前n项和Dn，并证明Dn+2an+1＝29．

Answer 1

（1）证明：由题意知：a_n+1=a_n²+2a_n∴a_n+1+1=（a_n+1）²
∵a₁=9，∴a_n+1＞0，
∴lg（a_n+1+1）=lg（a_n+1）²即b_n+1=2b_n，
又∵b₁=lg（1+a₁）=1＞0
∴{b_n}是首项为1比为2的等比数列；
（2）由（1）知：b_n=b₁?2^n-1=2^n-1∴C_n=n?2ⁿ，设{C_n}的前n项和为S_n．
∴S_n=C₁+C₂+C₃+…+C_n=1?2¹+2?2²+3?2³+…+n?2ⁿ
∴2S_n=1?2²+2?2³+3?2⁴+…+（n-1）?2ⁿ+n?2ⁿ⁺¹
?Sn＝1?21+22+23+…+2n?n?2n+1＝

2(1?2n)

1?2

?n?2n+1＝2n+1?2?n?2n+1
∴S_n=n?2ⁿ⁺¹-2ⁿ⁺¹+2
{C_n}的前n项和为n?2ⁿ⁺¹-2ⁿ⁺¹+2．
（3）∵a_n+1=a_n²+2a_n=a_n（a_n+2）＞0∴

1

an+1

＝

1

2

(

1

an

?

1

an+2

)
∴

1

an+2

＝

1

an

?

2

an+1

∴dn＝

1

an

+

1

an

?

2

an+1

＝2(

1

an

?

1

an+1

)
∴Dn＝d1+d2+…+d n＝2(

1

a1

?

1

a2

+

1

a2

?

1

a3

+…+

1

an

?

1

an+1

)＝2(

1

a1

?

1

an+1

)
又由（1）知：lg（1+a_n）=2^n-1∴an+1＝102n?1∴an+1＝102n?1
∴Dn＝2(

1

9

?

1

102 n?1

)又由Dn＝2(

1

a1

?

1

an+1

)知Dn+

2

an+1

＝

2

a1

＝

2

9

．