Question

已知函数f（x）=ax3-3x2，a∈R．（1）若a＞0，讨论函数f（x）的单调性；（2）若函数f（x）在区间[0，1]上

已知函数f（x）=ax3-3x2，a∈R．（1）若a＞0，讨论函数f（x）的单调性；（2）若函数f（x）在区间[0，1]上单调递减，求a的取值范围．

Answer 1

（1）若a＞0，
∵f（x）=ax³-3x²，
∴f′（x）=3ax²-6x=3x（ax-2）=3ax（x?

2

a

）．
当x∈（-∞，0）∪（

2

a

，+∞）时，f′（x）＞0，当x∈（0，

2

a

）时，f′（x）＜0
故函数的减区间为∈（0，

2

a

），增区间为（-∞，0），（

2

a

，+∞）；
（2）若函数f（x）在区间[0，1]上单调递减，
则f′（x）=3ax²-6x≤0在[0，1]上恒成立，
即3ax²≤6x在[0，1]上恒成立，
当x=0时，满足条件，
当x≠0时，不等式等价为a≤

6x

3x2

＝

2

x

，
∵0＜x≤2，∴

2

x

≥1，
则a≤1．