Question

已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0≤φ≤π）为偶函数，且其图象上相邻的一个最高点和最低点之间的

已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0≤φ≤π）为偶函数，且其图象上相邻的一个最高点和最低点之间的距离为4+π2．（1）求f（x）的解析式；（2）若tanα+1tanα=5，求2f(2α-π4)-11-tanα的值．

Answer 1

（1）设最高点为（x₁，1），最低点为（x₂，-1），
则|x1-x2|=

T

2

(T＞0)，
∴

T2

4

+4=4+π2，T=2π，则ω=1．
∴f（x）=sin（x+φ），
∵f（x）=sin（ωx+φ为偶函数，
∴sinφ=±1，φ=kπ+

π

2

，k∈Z．
∵0≤φ≤π，
∴φ=

π

2

．
则f（x）=sin（x+

π

2

）=cosx；
（2）∵tanα+

1

tanα

=5，
∴sinαcosα=

1

5

．

2 f(2α- π 4 )-1

1-tanα

=

2 cos(2α- π 4 )-1

1-tanα

=2sinαcosα=

2

5

．