Question

如图，已知在△ABC中，AB=5，BC=4，AC=17，AH⊥BC，垂足为H．∠ABC的平分线交AH于点M，点P为BC边上的动点

如图，已知在△ABC中，AB=5，BC=4，AC=17，AH⊥BC，垂足为H．∠ABC的平分线交AH于点M，点P为BC边上的动点（不与B、C重合）连接MC、MP．①求CH的长；②设BP=x，S△MPC=y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；③当△MPC为以MC为腰的等腰三角形时，求BP的长．

Answer 1

解答：解：（1）设CH=x，则BH=4-x；
∵AH⊥BC，∴AB²-BH²=AH²，AC²-CH²=AH²，
故AB²-BH²=AC²-CH²，即52?(4?x)2＝(

17

)2?x2，
化简整理得：8x=8，x=1；
故CH的长为1；

（2）由（1）知CH=1，故BH=4-1=3；
∵AH²=AB²-BH²=5²-3²=16，
∴AH=4，
∵∠ABC的平分线交AH于点M，
∴

AB

BH

＝

AM

MH

，
而AB=5，BH=4-1=3，AM=4-MH，
∴

5

3

＝

4?MH

MH

，解得MH=

3

2

；
∵BP=x，
∴CP=4-x，S△MPC＝

1

2

PC?MH＝

1

2

(4?x)×

3

2

，
即y=?

3

4

x+3，0≤x＜4；

（3）当△MPC为以MC为腰的等腰三角形时，
若MP为腰，
∵MH⊥PC，
∴PH=HC=1，
BP=4-2=2；
若MP为底时，PC=MC；
∵MC＝

12+( 3 2 )2

＝

1+ 9 4

＝

13 4

＝

13

2

，∴BP=BC-PC=4-

13

2

∴当△MPC为以MC为腰的等腰三角形时，BP的长为2或4-

13

2

．