Question

已知直线l的方向向量为 a =（1，1），且过直线l 1 ：2x+y+1=0和直线l 2 ：x-2y+3=0的交

已知直线l的方向向量为 a =（1，1），且过直线l 1 ：2x+y+1=0和直线l 2 ：x-2y+3=0的交点．（1）求直线l的方程；（2）若点P（x 0 ，y 0 ）是曲线y=x 2 -lnx上任意一点，求点P到直线l的距离的最小值．

Answer 1

（1）由 2x+y+1=0 x-2y+3=0 可得 x=-1 y=1 由题意可得，直线l的斜率k=1，且过（-1，1） ∴直线l的方程为y-1=x+1即x-y+2=0 （2）当过点P的切线和直线y=x+2平行时，点P到直线y=x+2的距离最小． 由题意可得，y′=2x- 1 x =1， ∴x=1，或 x=- 1 2 （舍去） 故曲线y=x 2 -lnx上和直线y=x+2平行的切线经过的切点坐标（1，1）， 点（1，1）到直线y=x+2的距离d= |1-1+2| 2 = 2 故点P到直线y=x-2的最小距离为 2