Question

已知f（x）=-4x 2 +4ax-4a-a 2 在区间[0，1]内有最大值-5，求a的值及函数表达式f（x）

已知f（x）=-4x 2 +4ax-4a-a 2 在区间[0，1]内有最大值-5，求a的值及函数表达式f（x）．

Answer 1

解∵f（x）=-4 (x- a 2 ) 2 -4a，此抛物线顶点为 ( a 2 ，-4a) ． 当 a 2 ≥1，即a≥2时，f（x）取最大值-4-a 2 ．令-4-a 2 =-5，得a 2 =1，a=±1＜2（舍去）． 当0＜ a 2 ＜1，即0＜a＜2时，x= a 2 时，f（x）取最大值为-4A、令-4a=-5，得a= 5 4 ∈（0，2）． 当 a 2 ≤0，即a≤0时，f（x）在[0，1]内递减，∴x=0时，f（x）取最大值为-4a-a 2 ， 令-4a-a 2 =-5，得a2+4a 2 -5=0，解得a=-5，或a=1，其中-5∈（-∞，0]． 综上所述，a= 5 4 或a=-5时，f（x）在[0，1]内有最大值-5． ∴f（x）=-4x 2 +5x- 25 16 或f（x）=-4x 2 -20x-5．