Question

如图，四边形ABCD是等腰梯形，下底AB在x轴上，点D在y轴上，直线AC与y轴交于点E（0，1），点C的坐标为（2

如图，四边形ABCD是等腰梯形，下底AB在x轴上，点D在y轴上，直线AC与y轴交于点E（0，1），点C的坐标为（2，3）．（1）求A、D两点的坐标；（2）求经过A、D、C三点的抛物线的函数关系式；（3）在y轴上是否在点P，使△ACP是等腰三角形？若存在，请求出满足条件的所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）点A的坐标为（﹣1，0）。点D的坐标为（0，3）。 （2）y=x 2 ﹣2x+3。 （3）存在。满足条件的点P有5个，分别为：P 1 （0，2），P 2 （0， ），P 3 （0， ），P 4 （0， ），P 5 （0， ）。

试题分析：（1）利用待定系数法求出直线EC的解析式，确定点A的坐标；然后利用等腰梯形的性质，确定点D的坐标。 （2）利用待定系数法求出抛物线的解析式。 （3）满足条件的点P存在，且有多个，需要分类讨论： ①作线段AC的垂直平分线，与y轴的交点，即为所求； ②以点A为圆心，线段AC长为半径画弧，与y轴的两个交点，即为所求； ③以点C为圆心，线段CA长为半径画弧，与y轴的两个交点，即为所求。 解：（1）设直线EC的解析式为y=kx+b， 根据题意得： ，解得 。 ∴y=x+1， 当y=0时，x=﹣1，∴点A的坐标为（﹣1，0）。 ∵四边形ABCD是等腰梯形，C（2，3），∴点D的坐标为（0，3）。 （2）设过A（﹣1，0）、D（0，3）、C（2，3）三点的抛物线的解析式为y=ax 2 +bx+c，则有： 　 ，解得 。 ∴抛物线的关系式为：y=x 2 ﹣2x+3。 （3）存在。 ①作线段AC的垂直平分线，交y轴于点P 1 ，交AC于点F， ∵OA=OE， ∴△OAE为等腰直角三角形，∠AEO=45°。 ∴∠FEP 1 =∠AEO=45°。 ∴△FEP 1 为等腰直角三角形。 ∵A（﹣1，0），C（2，3），点F为AC中点， ∴F（ ）。 ∴等腰直角三角形△FEP 1 斜边上的高为 。 ∴EP 1 =1。∴P 1 （0，2）。 ②以点A为圆心，线段AC长为半径画弧，交y轴于点P 2 ，P 3 ． 可求得圆的半径长AP 2 =AC=3 ， 连接AP 2 ，则在Rt△AOP 2 中， , ∴P 2 （0 ）. ∵点P 3 与点P 2 关于x轴对称，∴P 3 （0， ）. ③以点C为圆心，线段CA长为半径画弧，交y轴于点P 4 ，P 5 ， 则圆的半径长CP 4 =CA=3 ， 在Rt△CDP 4 中，CP 4 =3 ，CD=2， ∴ 。 ∴OP 4 =OD+DP 4 = 。∴P 4 （0， ）. 同理，可求得：P 5 （0， ）。 综上所述，满足条件的点P有5个，分别为：P 1 （0，2），P 2 （0， ），P 3 （0， ），P 4 （0， ），P 5 （0， ）。