Question

如图，二次函数y=ax 2 +bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A、B两点，与y轴相交于点C，连接AC、BC，A、C两点的

如图，二次函数y=ax 2 +bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A、B两点，与y轴相交于点C，连接AC、BC，A、C两点的坐标分别为A（-3，0）、C）（0， ），且当x=-4和x=2时二次函数的函数值y相等。 （1）求实数a、b、c的值；（2）若点M、M同时从B点出发，均以每秒1个单位长度的速度分别沿BA、BC边运动，其中一个点到达终点时，另一点也随之停止运动，当运动时间为t秒时，连接MN，将△BMA沿MN翻折，B点恰好落在AC边上的P处，求t的值及点P的坐标；（3）在（2）的条件下，二次函数图象的对称轴上是否存在点Q，使得以B、N、Q为顶点的三角形与△ABC相似？如果存在，请求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由。

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Answer 1

解：（1）由题意，得 ，解之得 ；
（2）由（1）得 ， 当y=0时，x=-3或x=1， ∴B（1，0），A（-3，0），C（0， ）， ∴OA=3，OB=1，OC= ， 易求AC=2 ，BC=2，AB=4， ∴△ABC为直角三角形，且∠ACB=90°，∠CAB=30°，∠ABC=60°， 又由BM=BN=PN=PM知四边形PMBN为菱形， ∴PN∥AB， ∴ 即 ， ∴ ， 过P作PE⊥AB于E，在Rt△PEM中，∠PME=∠B=60°， ， ∴ ， ， 又OM=BM-OB= ，故OE=1， ∴ ；
（3）由（1）、（2）知抛物线 的对称轴为直线x=-1，且∠ACB=90°， ①若∠BQN=90°， ∵BN的中点到对称轴的距离大于1， 而 ， ∴以BN为直径的圆不与对称轴相交， ∴∠BQN≠90° 即此时不存在符合条件的Q点； ②若∠BNQ=90°， 当∠NBQ=60°，则Q、E重合，此时∠BNQ≠90°； 当∠NBQ=30°，则Q、P重合，此时∠BNQ≠90°， 即此时不存在符合条件的Q点； ③若∠QBN=90°，延长NM交对称轴于点Q，此时，Q为P关于x轴的对称点， ∴ 为所求。