Question

已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，椭圆C上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1。 （1）求椭圆C

已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，椭圆C上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1。 （1）求椭圆C的标准方程； （2）若直线l：y=kx+m与椭圆C相交于A，B两点（A，B不是左右顶点），且以AB 为直径的圆过椭圆C的右顶点，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标。

Answer 1

解：（1）由题意设椭圆的标准方程为 由已知得a+c=3，a-c=1， ∴a=2，c=1， ∴b 2 =a 2 -c 2 =3 ∴椭圆的标准方程为 。 （2）设A（x 1 ，y 1 ），B（x 2 ，y 2 ），联立 得 又 因为以AB为直径的圆过椭圆的右顶点D（2，0） ∴ ∴ ∴ 解得m 1 =-2k， 且均满足3+4k 2 -m 2 >0 当m 1 =-2k时，l的方程为y=k（x-2），直线过定点（2，0），与已知矛盾； 当 时，l的方程为 直线过定点 所以，直线l过定点，定点坐标为 。