Question

如图，△ABC的三条角平分线交于I点（∠ACB＞∠ABC），AI交BC于D，作IE⊥BC于E．下列结论：①∠CID+∠ABI=

如图，△ABC的三条角平分线交于I点（∠ACB＞∠ABC），AI交BC于D，作IE⊥BC于E．下列结论：①∠CID+∠ABI=90°；②∠BID=∠CIE；③∠IBD=∠DIE；④∠DIE=∠ACI-∠ABI．其中正确的结论是（　　）A．①②③B．①②④C．①③④D．①②③④

Answer 1

∵四个选项中①均存在，
∴可不予考虑，①必然成立，
②∵I为△ABC三条角平分线的交点，IE⊥BC于E，
∴∠ABI=∠IBD，
∵∠CID+∠ABI=90°，即∠CIE+∠DIE+∠IBD=90°，
∵IE⊥BC于E，∴∠IBD+∠BID+∠DIE=90°，
∴∠BID=∠CIE，即②成立；
③∵∠BID=∠CIE，∠BID是△ABI的外角，∠CID是△AIC的外角，
∴∠BID=∠BAI+∠ABI，∠CID=∠IAC+∠ACI，
∵∠BID=∠CIE，∠BAI=∠IAC，
∴∠DIE=∠ACI-∠ABI，
若∠IBD=∠DIE成立，则∠ICE=2∠IBD，即（∠ACB=4∠ABC）．
∴无法判定③是否成立；
④∵∠BID=∠CIE，∠BID是△ABI的外角，∠CID是△AIC的外角，
∴∠BID=∠BAI+∠ABI，∠CID=∠IAC+∠ACI，
∵∠BID=∠CIE，∠BAI=∠IAC，
∴∠DIE=∠ACI-∠ABI，故④成立．
故成立的是①②④．
故选B．