Question

已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2+ax+2b=0的两个实数根，且x1∈（0，1），x2∈（1，2）．则b?2a?1的取

已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2+ax+2b=0的两个实数根，且x1∈（0，1），x2∈（1，2）．则b?2a?1的取值范围是______．

Answer 1

解；∵x₁，x₂是关于x的一元二次方程x²+ax+2b=0的两个实数根，
∴设函数f（x）=x²+ax+2b，
∵x₁∈（0，1），x₂∈（1，2）．
∴

f(0)＞0 f(1)＜0 f(2)＞0

，即

2b＞0 a+2b+1＜0 2a+2b+4＞0

，
作出不等式组对应的平面区域如图：
设z=

b?2

a?1

，则z的几何意义是区域内的点P（a，b）到定点A（1，2）两点之间斜率的取值范围，
由图象可知当P位于点B（-3，1）时，直线AB的斜率最小，此时k AB＝

1?2

?3?1

＝

1

4

，
可知当P位于点D（-1，0）时，直线AD的斜率最大，此时kAD＝

0?2

?1?1

＝1，
∴

1

4

＜z＜1，
则

b?2

a?1

的取值范围是(

1

4

，1)．
故答案为：(

1

4

，1)．