Question

已知定义在R上的函数f（x）满足f（x+4）=f（x），当x∈[0，4]时，f（x）=2|x-m|+n，且f（2）=6．（1）求m

已知定义在R上的函数f（x）满足f（x+4）=f（x），当x∈[0，4]时，f（x）=2|x-m|+n，且f（2）=6．（1）求m，n的值；（2）当x∈[0，4]时，关于x的方程f（x）-a?2x=0有解，求a的取值范围．

Answer 1

（1）由已知f（0）=f（4），
可得2^|m|+n=2^|4-m|+n，
∴|m|=|4-m|，
∴m=2
又由f（2）=6可知2^|2-2|+n=6，
∴n=5
（2）方程即为2^|x-2|+5=a×2^x在[0，4]有解．
当x∈[0，2]时，2^2-x+5=a?2^x，
则a=

4

(2x)2

+

5

2x

，
令(

1

2

)x＝t∈[

1

4

，1]
则a=4t²+5t在[

1

4

，1]单增，
∴a∈[

3

2

，9]，
当x∈（2，4]时，2^2-x+5=a?2^x，
则a=

1

4

+

5

2x

，
令(

1

2

)x＝t∈[

1

16

，

1

4

)
则a=

1

4

+5t，
∴a∈[

9

16

，

3

2

)
综上：a∈[

9

16

，9]．